這是我第二次走進光明日報的光明講壇，也是第二次來嘉興學院。第一次來光明講壇是在2006年跟丘成桐先生一起，我講了“丘成桐素描”，簡述了丘先生的生平和成就。第一次來嘉興學院是2004年與93歲高齡的陳省身先生一起，參加我們組織的“西湖青年數(shù)學論壇”。

　　那是陳先生最后一次來杭州和嘉興。我們一起度過了許多非常愉快的時光，許多場景至今歷歷在目。那一年12月陳先生去世，我寫了紀念文章“我們都屬于陳類”，講述了他對我的許多影響。很榮幸能有機會在“省身講堂”與大家交流。

　　我是一個各方面都很普通的人，由于各種原因取得了一點成績，而且人生的前二十年在中國，后二十年在美國。自己在國內(nèi)讀了中學和大學，在美國拿了博士。教過不少美國的學生，也教過不少中國學生；
自己既做過好學生，也做過壞學生；
教過很多好學生，也教過不少壞學生；
做過好老師，也做過惡老師；
在數(shù)學上和生活里有一些自認為成功的經(jīng)驗，也有許多失敗的教訓。在座的同學如果從我的經(jīng)歷里得到一些經(jīng)驗，我想今天的演講就達到目的了。

　　我的生活、學習與研究的經(jīng)歷

　　我的小學、中學都是在開封和天津的農(nóng)村和郊區(qū)上的，父母也只有小學文化。我初中三年級才開始接觸英文。至今還記得小學一年級坐過的泥土板凳和照亮的煤油燈。但河南農(nóng)村小學、天津的郊區(qū)小學和中學卻培養(yǎng)了我獨立思考問題的好習慣。上初中和高中時，因為沒有人討論，所以自己經(jīng)常會為一個問題苦思冥想幾個星期。這種習慣是做研究必不可少的�，F(xiàn)在我會時常為一個問題思考幾年不覺得累，而且會覺得很享受。

　　數(shù)學競賽有很多弊端，卻激發(fā)了我對數(shù)學的興趣。中學數(shù)學競賽的一次失利對我影響極大，也激勵我更加努力。我自學了高中、大學里的不少數(shù)學，開始時似懂非懂，可即使如此，再看中學數(shù)學就覺得非常簡單了。所以，我覺得高考應該有一些微積分的知識，因為微積分某種意義上是集初等數(shù)學之大成，是現(xiàn)代科學最不可缺少的工具，越早接觸它對自己未來的發(fā)展就越有利。

　　小學時，我們“開門辦學”，夏天去田地里拾麥穗。考試開卷，自己編寫考試題目。由于課程輕松，我大部分時間是與小朋友們四處玩逛�，F(xiàn)在想想，這卻與美國的小學教育很有一些相像之處。如今，與我同時代的不少朋友在國內(nèi)外各行各業(yè)都做得很成功，大家并沒有覺得小時候少學了什么。我現(xiàn)在每每看到國內(nèi)的孩子們被考試、習題折磨成蔫蔫的樣子，心里總覺得不是滋味。

　　1976年我小學畢業(yè)的時候正好遇上唐山大地震，我們曾在露天里，把黑板掛在樹上上課。今年的汶川大地震給了我更多心靈的振顫。這兩次大地震對中國都有劃時代的意義。1976年正是中國改革開放的前夜；
2008年將會是中國空前團結(jié)和強大的里程碑。

　　海外的游子們尤其感受到了中國的進步，民族的團結(jié)與強大。這跟我20年前到美國去的時候完全不一樣。那是在我讀書的時候，連香港、臺灣的同學說起大陸都有不屑的樣子，美國媒體里中國人的形象也大都很負面。當時我們太窮太困難，現(xiàn)在的情況是天翻地覆，世界上對中國的尊敬從各個方面體現(xiàn)出來，包括美國的媒體、好萊塢、娛樂等各方面對中國的描述也完完全全地改變了。這種改變令我們更加覺得作為中國人的自豪。

　　我不到16歲上大學。在北京大學讀書的四年里，數(shù)學上沒有太多進步，玩得太多，寫了幾百封情書追求我現(xiàn)在的太太。但大學里7個人一個宿舍的經(jīng)歷卻磨練了我的個人生活能力。而當時我們班上學習最好的兩個同學，都在1988年前后來美國名校讀書，畢業(yè)后由于生活事業(yè)上的一些不順利，都自殺了。我想，這是經(jīng)不起生活坎坷的磨練。其實許多坎坷回頭看來都根本不值得一提，如果能夠咬牙克服過去，事后回想起來也許是自己人生的寶貴經(jīng)驗和快樂回憶。我經(jīng)常告訴我的學生們，中國人并不比別人聰明，我們最大的優(yōu)勢就是韌性，那是我們文化和人性的根基。屢挫屢戰(zhàn)，能夠在大大小小的失敗里站起來才是真正的成功者。

　　在大學的時候，我們大都不知道什么是現(xiàn)代數(shù)學研究，以為就是做習題和考試。這使得許多學生，包括我自己失去了進一步學習的熱情和動力。所以現(xiàn)在我?guī)�學生，都會讓他們盡早接觸現(xiàn)代數(shù)學研究的前沿知識，讓他們有新的努力方向；
讓他們盡量多學各個方面的數(shù)學知識，有自己開闊的眼界。

　　我真的知道什么是現(xiàn)代數(shù)學是在1985年，陳省身先生在南開舉辦的暑期班里，我似懂非懂地學習了一些當代的幾何拓撲知識。印象最深的，就是陳先生講座中提到的陳示性類和指標定理。暑期班以后，我反反復復地讀在暑期班里沒有學懂的陳先生指定的兩本書，由此也開始體會到“學而時習之，不求甚解；
每有會意，便欣然忘食”的愉悅感覺。那一期的暑期班培養(yǎng)了好幾位優(yōu)秀的數(shù)學家，如張偉平、周向宇、方復全等，他們都是當今中國幾何拓撲學界的領袖人物。

　　我在中國科學院研究生院讀書時，同學中有南開的張偉平院士、中科院數(shù)學所的周向宇所長等。那時很少有機會能聽到前沿的課程。我們自己組織討論班，報告陳示性類、指標理論、莫代爾猜想等等。開始還無法完全弄明白，但是卻開闊了眼界，至少知道了什么是“好的”、值得學習的數(shù)學。這對每個人來說都是非常重要的。我覺得學生們最需要培養(yǎng)的是對數(shù)學的鑒賞力，讓他們知道什么是好的，有用的數(shù)學才是最重要的訓練。

　　1988年我來到哈佛大學攻讀博士學位，讓我感觸最深的就是那里的教授和學生們勤奮工作和學習的作風。許多著名的大教授，如鮑特、辛格當時都七十多歲了，滿頭白發(fā)，卻每天出現(xiàn)在各種討論班里，像年輕人一樣上課問問題。丘成桐先生也一天到晚坐在研究生的課堂里�，F(xiàn)在國內(nèi)最缺少的正是這樣一種風氣。

　　我想，一流的大學其實就是這樣，并非一流的大樓和最先進的計算機，而是一流的研究學習氛圍。然而，推動老師學生們?nèi)绱送度氲氖撬麄儗��?shù)學的好奇、熱愛和對知識的渴求。哈佛舉辦各種討論班，老師學生們都非常積極地參加，座位不夠了，甚至坐在地上。那時的我感覺就好像一頭扎進了知識的海洋，每天早晨都感受到不同的陽光，那是非常令人興奮的日子。

　　美國頂尖大學里對研究生的培養(yǎng)就像是把人扔到水里學游泳。教授們通常不太管學生，讓學生們互相促進。在那樣的氛圍和知識的海洋里，每個人都會自覺地非常用功，爭取游到成功的彼岸。我在浙江大學數(shù)學中心也努力創(chuàng)造這樣的氛圍，經(jīng)過五年的努力，已經(jīng)初見成效。

　　1993年從哈佛畢業(yè)后，我先后在麻省理工學院、斯坦福大學與加州大學洛杉磯分校任教。近五年來我把大部分精力投入到浙江大學數(shù)學研究中心與數(shù)學系的建設中。

　　我感覺到，數(shù)學的未來在中國。因為中國人做數(shù)學就像中國人打乒乓球一樣有優(yōu)勢，我們在這方面是有特長的，可以做得很好，發(fā)展得很快。數(shù)學需要聰明人，我們十三億人口中絕對不缺優(yōu)秀的人才。數(shù)學不需要太多的投入，只要有一個好的圖書館，把一群好的年輕人聚集在一起，讓他們無憂無慮地討論數(shù)學，有五年到十年就會大見成效。如果說國內(nèi)那一門學科可以很快成為世界一流，我相信數(shù)學是最有可能的。其實中國能成為體育強國就是五十年代從乒乓球抓起，以此來帶動其他體育項目的。我覺得我們的科學發(fā)展也應該從數(shù)學來率先突破。它們的共同點是投資少，見效快，又很合乎中國人的天性。我們投這么多的錢在足球里面，還不如投到數(shù)學里面，如果這樣，中國的數(shù)學將很快是世界超一流的。我想，數(shù)學家們肯定不會讓老百姓揪心的。

　　中美教育應該互補

　　我覺得應試教育是一種訓練機器，把孩子的靈性和能力磨掉了，只有對習題和考試的被動回應。我們一些老的體制和觀念對我們發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)人才也是很大的障礙，尤其對有鮮明個性的學生，我們的老師壓制多于鼓勵，只是希望他們聽話，并不鼓勵他們的個性和好奇心。其實，許多優(yōu)秀的學生，我們只需要把他們引導到正確的學習研究軌道上，他們很快就會非常出色。據(jù)我了解，我們的中學老師、家長們都明白問題所在，但卻往往身不由己地跟著惡性循環(huán)。家長們既心疼孩子又要強迫他們?nèi)ルS大流拼命。許多有條件的家長寧可忍受分離之苦把孩子送到國外讀書，以此來逃避國內(nèi)的各種考試，這樣的犧牲卻未必值得。

　　我們的孩子們從小就開始參加“奧數(shù)”，他們中許多并非為了興趣，而是被逼無奈。奧數(shù)競賽本身用意很好，可是物極必反，被許多學校和家長們用作進入好的中學，好的大學的工具。奧數(shù)獲獎者的人數(shù)和進入清華北大的人數(shù)成為許多學校的金字招牌。太多的功利因素把奧數(shù)變成了進入好學校的工具，而不是用來激發(fā)學生們的興趣。奧數(shù)免試制度顯然弊大于利，作為入學的參考應該會有更好的作用。一些大學每年為所謂高考狀元的競爭更是白熱化。不少老師也知道這樣做不對，可還是要做。其實大學之間應該是比較培養(yǎng)成功的人才數(shù)量，而不是比較哪一個招收了更多的所謂狀元。招收很多人才卻培養(yǎng)不出來就是大學教育的失敗。

　　中國學生們十幾年的中小學生涯就是把進入最好的大學作為人生的目標。父母、學校還有學生們往往忘記了大學只是人生奮斗的開始。而對于我們今天的學生，大學卻變成了人生奮斗的終點。

　　美國的教育恰好相反。學生們一直到高中玩得很多，尤其美國孩子更多地是在體育、才藝等其他方面發(fā)展。學校里的功課相對簡單，數(shù)學教育更多的是灌輸知識，而不是技巧。但他們的教育方式有非常好的一面，如從小學開始就給一些研究性質(zhì)的項目要求學生自己找資料，總結(jié)整理并在班上演講。老師也鼓勵學生主動回答問題，多與同學交流。這是非常好的研究和學習訓練。我們是讀研究生的時候才開始這樣的訓練，缺乏這樣的“童子功”很影響中國學生在國內(nèi)外的事業(yè)發(fā)展。不僅要做出好的成果，還要讓別人了解并應用你的成果，這是現(xiàn)在做研究的必經(jīng)之路。

　　美國大學的選拔方式也是全方位的，包括獨立思考能力、社會責任感、團隊精神、體育才藝等等的綜合評判，考試成績只是參考指標的一部分，而且入學考試有幾次機會，并非像國內(nèi)一樣一次考試定終身。這對學生的全面發(fā)展非常有利。

　　美國的中學生們到了高中為進入好的大學大都非常用功。據(jù)統(tǒng)計北加州三分之二的高中學生缺乏睡眠和營養(yǎng)，各種協(xié)助學生申請大學的機構(gòu)也應運而生。由此可見學習的刻苦，競爭的激烈。我女兒上高中時就經(jīng)常學習到深夜來準備轉(zhuǎn)天的考試，在大學里更是緊張，還要開始為自己以后的生活和工作考慮。他們從此上緊了人生的發(fā)條。上大學以后他們能夠更加成熟地思考自己的人生，許多人知道要為自己的未來而主動用功。

　　我們的孩子們該玩的時候沒有玩夠，從小就是在為父母們用功，磨滅了天真。所有的理想都是父母和社會強加給他們的，并非他們自己的意愿。一旦進入大學，離開父母，他們就往往不再有用功的動力。過度的機械訓練讓他們對科學完全失去了興趣，而沉迷于小時候沒有玩夠的各種游戲。

　　我覺得中美教育各有所長，也各有所短，都有合理和不合理的地方。中國的教育注重基礎和技巧，但為了升學進行魔鬼式的考試技巧訓練有害無益。美國一般的中學教育又顯得過于放縱，不少數(shù)學老師本身水平就很低。但由于美國有許多各種水平的大學，這保證了各種水平的學生都有進入大學的機會。中學也一樣，大量的與多樣化的中學給了學生們各種升學受教育的機會。美國學校的另一個優(yōu)勢是他們可以雇到全世界最好的老師，招收到全世界最好的學生。這保證了美國優(yōu)秀大學的研究和教學水平總是在世界前列。隨著經(jīng)濟的發(fā)展，中國也漸漸地具備了這樣發(fā)展大學和研究的實力。我相信更多的大學，包括高水平的私立大學與教學研究的國際化，集世界的英才為中國服務，將是中國教育的發(fā)展方向。

　　我在美國大學里教書發(fā)現(xiàn)，在每個大學里，即使哈佛，盡管有許多非常優(yōu)秀的學生，但也有基礎非常差的學生，這說明美國招生制度也有弊端。如何將中美教育的優(yōu)勢綜合起來培養(yǎng)我們的學生也是我經(jīng)常思考的問題。我接觸了不少美國的研究生與大學生，注意到他們的共同點是非常自信，與老師相處非常坦然，講課條理清楚，

　　這應該是他們從小訓練的結(jié)果。他們的不足是缺乏韌性，全憑熱情做事，生活和研究中一旦遇到稍大的挫折就會立刻向其它方向發(fā)展。當然，美國社會也給了他們各種轉(zhuǎn)行的條件。

　　中國的學生基礎扎實，勤奮用功，但一般比較害羞，對老師過于恭敬和崇拜，有時對自己的觀點缺乏自信，這阻礙了他們的創(chuàng)新能力。他們的表達能力也相對有些欠缺。在國外許多中國留學生沒有成功，甚至完全失敗，并非他們天分不行，而往往是性格因素和生活能力造成的。其實他們中許多人在研究中取得了很好的成績，卻不能很好地適應社會。(點擊此處閱讀下一頁)

　　據(jù)我個人的經(jīng)歷，現(xiàn)代社會中一個人的成功與否與“情商”的關系明顯大于“智商”，最聰明的往往不一定是最成功的。好的數(shù)學證明常常是經(jīng)歷了幾十個甚至上百個失敗的嘗試之后才找到，所以一個人經(jīng)受挫折的韌性往往是成功的關鍵。我的導師丘成桐先生也經(jīng)常教育我們，要不屈不撓、屢敗屢戰(zhàn)才能成為真正的強者。

　　由于長期的考試訓練，國內(nèi)的許多學生很難適應由讀書走向研究的過渡階段，我發(fā)現(xiàn)許多優(yōu)秀的學生在這一步上垮掉了。不少考試的尖子一旦覺得自己的研究不如同學，又會產(chǎn)生極端的嫉妒或者自卑情緒。前幾年這在國外的中國學生身上表現(xiàn)極為突出，甚至有自殺和殺人的例子，包括在哈佛和麻省理工學院等名校的學生。

　　我們的獨生子女過分地依賴父母和老師，他們在適應集體生活與研究等方面的問題似乎更加嚴重。這是我們作為老師和家長都要面對的問題。

　　“法乎其上，取乎其中”

　　關于學習的方法和對數(shù)學的興趣，我個人的經(jīng)驗是，數(shù)學學習應該遵循“法乎其上，取乎其中”的方式，這是事半功倍的好方法。比如學習微積分的知識用來解決許多中學數(shù)學問題就非常有用。我初中二年級時數(shù)學曾經(jīng)很差，但我似懂非懂地自學了一些高中數(shù)學，再回頭來看初中數(shù)學，就覺得非常容易。同樣我高中時自學了一些大學的數(shù)學，中學的數(shù)學題就不在話下了。我希望大學生們盡早了解研究生階段的知識，而研究生則要盡快開始研究訓練。技巧訓練也很重要，但不要為技巧而技巧，做題的目的是為了掌握知識。而興趣則往往產(chǎn)生于能夠解決困難問題的成就感。在具體的學習過程中，我教導我的學生要上課前預習，課堂上認真做筆記，課后認真復習做習題。采用這樣的三部學習法可以有效地提高學習效率。課余時間還要讀些課外書，盡量拓廣自己的知識面。對于研究生我要求他們在學習過程中要連奔帶跑地沖到研究前沿，論文和書籍要一起看。只有讀了論文，開始做研究了，才知道什么樣的數(shù)學有用，應該下功夫，要盡量少做無用功。

　　我們的教育體制有許多要改進的地方，除了中學里有太多的考試，在大學里，有些老師的知識就過于陳舊和狹窄，而且不努力學習新的知識，更不可能拓寬學生的知識面了。許多學生也動輒以能做上萬道習題為榮，或者早早就把自己限制在某個狹窄的研究方向上。這樣的教育只能培養(yǎng)給別人打工的工匠，不可能培養(yǎng)出真正的科學家。我覺得對數(shù)學專業(yè)的學生而言，要首先拓寬眼界，不僅在數(shù)學的各個學科之間，更包括物理等相關學科，然后再盡可能地融會貫通，激發(fā)出想象力。

　　五年前，我來到杭州為浙大數(shù)學中心與數(shù)學系工作。我和我的朋友們覺得最重要的使命之一就是發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)人才。我們意識到了上面提到的各種各樣的問題，除了呼吁社會的關注，我們也希望通過我們的努力來改變這種狀況。為此，在丘成桐先生的倡導下，得到泰康人壽保險公司、美國著名的坦普爾頓基金會和香港新世界集團的慷慨資助，我們設立了面向全世界華人研究生、大學生、中學生的數(shù)學獎。不僅獎金非常優(yōu)厚，而且與哈佛、哥倫比亞等名校聯(lián)系合作，希望以此來鼓勵學生們的研究與創(chuàng)新，讓學生們把學習和研究盡早結(jié)合起來，盡量減少過多的考試帶來的負面效應。希望丘成桐中學數(shù)學獎能與奧數(shù)良性互動，一起促進國內(nèi)人才的挖掘與培養(yǎng)。

　　這幾年在國內(nèi)工作，我們盡量用自己的成功經(jīng)驗來培養(yǎng)學生，避免他們重犯我們曾經(jīng)犯過的錯誤而能夠取得更大的成功。在浙大我們創(chuàng)建了丘成桐數(shù)學英才班，其模式也是“法乎其上”理念的實踐。我們請到國內(nèi)最優(yōu)秀的老師給丘成桐班上課，希望學生們以最快的速度走到現(xiàn)代數(shù)學的前沿。其實我們并不缺乏優(yōu)秀的學生，我們?nèi)狈Φ氖莾?yōu)秀的老師和好的教育方式。好的老師往往把復雜的理論講得簡單，并激發(fā)學生的興趣，而差的老師卻會把簡單的問題講得復雜，讓學生失去自信心。我現(xiàn)在每星期都能收到一些年輕學生的郵件，向我訴說他們對數(shù)學的熱愛，許多都很令我感動，也更加讓我感到自己的責任。作為老師，被學生與家長們寄予厚望，如果不能把優(yōu)秀的學生培養(yǎng)成材，就是最大的資源浪費！

　　從研究生開始，我一直有幸遇到最好的老師：早年的鐘家慶、王啟明、陸啟鏗先生；
以及后來的陳省身、丘成桐先生。鐘先生與王先生的學問和人生都是踏踏實實、樸實無華。陸啟鏗先生對人對學問都是執(zhí)著真誠。他們都深深地影響了我。至今還記得，當年與周向宇教授一起，在陸先生家里掛著小黑板上討論的情形。

　　陳省身先生對人對學問都有與眾不同的看法。他曾經(jīng)很得意地告訴我他對“仁”字的新理解。他認為就是“兩個人的關系”。我想科學是應該最不講人情的，對就是對，錯就是錯，可是中國卻是一個人情社會。也許他晚年思考的問題，是如何處理好數(shù)學發(fā)展與人際關系的平衡。我們博士畢業(yè)的時候，丘先生與丘師母也諄諄教導我們要處理好做學問和做人的關系。注重友情和親情是中華民族的美德，但如果沒有適當?shù)牡拙�就會產(chǎn)生不好的影響。在國內(nèi)的學校里，學科的發(fā)展也往往受到人際關系，特別是與領導關系的制約。

　　陳先生教育學生的方式是“放羊”，給他們提供好的學習環(huán)境，完全相信學生自己的能力，讓他們自由發(fā)展。陳先生對“運氣”的理解也有不少獨到之處。

　　丘成桐先生無論做數(shù)學還是做人都是我的楷模，他是我們?nèi)A人數(shù)學家的驕傲。1987年王啟明先生寫信給丘先生推薦我。1988年一月份丘先生用快件給我寄來哈佛的申請表，這完全改變了我的人生道路。

　　丘先生對數(shù)學的貢獻，對朋友的真誠，對祖國的熱愛，對中國數(shù)學的巨大投入都將載入史冊。他培養(yǎng)學生也非常成功，他的學生遍布美國一流大學的數(shù)學系。哪怕你是研究生第一年的新生，丘先生也往往要求你盡快讀懂最新的數(shù)學文獻并在討論班里演講，這樣一來學生們幾乎是“連滾帶爬”地走到了數(shù)學研究的最前沿，在研究中學習，在學習中研究，這是“法乎其上”精神最成功的體現(xiàn)。

　　數(shù)學與物理的交融

　　從我讀研究生開始，我的研究工作就一直圍繞著物理學中出現(xiàn)的幾何與拓撲問題。物理學家需要數(shù)學作為工具，反過來他們又借助物理理論提出數(shù)學上的猜想，雖然物理學家的推導很多時候是不嚴格的，但是這些猜想往往最后都被證明是正確的。這是非常令人感到驚奇的！

　　數(shù)學和物理學的相互交織造就了科學史上的多次革命，大家熟知的有：微積分與牛頓力學定律；
廣義相對論與黎曼幾何。近年來的大小例子更是層出不窮，如量子場論、弦理論與數(shù)學的交融一直是數(shù)學研究的主流。這種交融極大地推動了數(shù)學的發(fā)展。弦理論是最有希望實現(xiàn)愛因斯坦夢想的大統(tǒng)一理論，與數(shù)學共同演奏出了最和諧美妙的科學發(fā)展篇章。

　　為了解決物理學家們提出的數(shù)學猜想，我們發(fā)展了全新的數(shù)學理論，發(fā)現(xiàn)了不同數(shù)學分支之間意想不到的聯(lián)系。這些數(shù)學上的革命又為物理學的繼續(xù)發(fā)展提供了嚴格的理論基石。

　　近20年數(shù)學菲爾茲獎得主的獲獎工作，有一半與量子場論、弦理論有關。無論你研究哪一個方向，總會在弦理論中找到用武之地。而弦論學家們也貪婪和迫不及待地注視著數(shù)學中每一點一滴的新進展，迅速地理解并應用到他們的理論中去。這種交流激發(fā)了數(shù)學與物理學無盡的活力。這也使得我們有理由猜測：上帝根據(jù)數(shù)學公式創(chuàng)造了世界？但毫無疑問，數(shù)學是開啟大自然的鑰匙。

　　要指出的是，物理學家對數(shù)學的貢獻不僅僅限于預測數(shù)學結(jié)論。很多時候，他們也用嚴格的數(shù)學語言為我們指出數(shù)學上重要的研究對象。威滕和瓦法是兩位杰出的代表，他們的數(shù)學甚至要好過絕大部分數(shù)學家。有人形容他們就像從未來時空穿梭回來的一樣，只記住了未來數(shù)學支離破碎的景象，憑著記憶敘述出來，成了挑戰(zhàn)當代數(shù)學家的猜測。

　　數(shù)學家威滕先生　

　　威滕的經(jīng)歷對我們也應該很有啟發(fā)。他大學時學習歷史，還參加過美國總統(tǒng)的競選寫作班子。讀研究生時才轉(zhuǎn)到物理系而成為數(shù)學物理大師。這樣成功的例子在國外很多。著名的拓撲學家瑟斯頓大學讀的是生物系。大數(shù)學家鮑特大學時專業(yè)是工程。還有好幾位著名的數(shù)學家都是大學二年級開始讀研究生。這也是我們的教育體制需要學習的另一個地方——給學生們的興趣創(chuàng)造條件，不能一次考試定終身。盡管有許多不合理的地方，我知道我們的大學體制正在朝著好的方向改進，學生培養(yǎng)模式也更加自由和靈活。

　　物理學家學習數(shù)學的方式也許值得我們借鑒，威滕他們大概從來不做數(shù)學習題，但卻用最快的速度學到他們所需要的數(shù)學。哈佛大學數(shù)學教授陶布斯曾說，“物理學家先學指標理論，然后才是黎曼幾何”。這也是“法乎其上”的學習方式。我覺得我們數(shù)學家不僅要時刻留意物理學的發(fā)展，更要注意物理學家掌握知識的技巧，那就是在研究中學習，在學習中研究。

　　物理學家特別青睞“無窮”，甚至有時候不惜以犧牲“嚴格性”作為代價，比如模群對稱，大N極限的陳—塞蒙斯理論，路徑積分。雖然費曼的路徑積分還缺少嚴格的數(shù)學基礎，該理論因其物理上的直觀性和便于形式演算在現(xiàn)代量子物理中產(chǎn)生了深遠的影響。這與微積分的發(fā)展有異曲同工之妙。正所謂“妙在無窮，美即有用”。這種不嚴格也給了他們無窮的想象空間。

　　數(shù)學家瓦法先生

　　數(shù)學上的每一次變革，都離不開新的思想與方法，以及不同分支學科的融會貫通。在歷史上方法的本質(zhì)變革往往使困難的問題變成練習題。無論做哪一門科學我們必須努力跟上并參與大的變革。這就要求我們在掌握豐富知識的基礎上更具創(chuàng)造性地思考問題，才能在數(shù)學發(fā)展的前沿占有一席之地。數(shù)學與物理的交互作用無疑將是今后相當長時間里數(shù)學研究的主流分支。

　　作為數(shù)學家我們也要時刻關注物理學的發(fā)展，我自己還有我的一些合作者與學生都有每天瀏覽最新數(shù)學與物理文獻的好習慣。了解物理學家新的想法對我們的數(shù)學研究很有幫助。從我的博士論文一直到我現(xiàn)在的幾個研究課題都是與理論物理的發(fā)展密切相關。

　　我的博士論文是研究威滕基于量子場論提出的關于指標定理的剛性猜測，而我的證明用的是我從數(shù)論中學到的模形式理論，極其簡潔而漂亮，其方法也被用于發(fā)現(xiàn)一些全新的數(shù)學定理。我與丘先生、連文豪一起證明的鏡對稱猜想，我與劉秋菊、周堅合作證明的馬里諾—瓦法猜想，以及我與彭磐一起證明的瓦法等人提出的關于扭結(jié)不變量的代數(shù)結(jié)構(gòu)與整性的猜想，都是由五種超弦理論間的相互對偶引申出的數(shù)學問題，這些猜想給出了無窮多難以計算的數(shù)學不變量生成函數(shù)完美的表達式和驚人的結(jié)構(gòu)，它們的證明也解決了數(shù)學中一些長期懸而未決的問題，是我們單純從數(shù)學角度來看做夢也想不到的。當然我們的證明以及發(fā)展的數(shù)學理論也為超弦理論作為大統(tǒng)一理論的正確性提供了更加堅實的基礎。我相信數(shù)學也將很快能夠與其他學科，如生物學和醫(yī)學，有更加深刻和廣泛的聯(lián)系。

　　知識和技巧哪個更重要？

　　我去美國留學時，隨身只帶了兩本書，我想在分析與幾何領域大展身手，就不需要學習別的了。1988年9月底,我走進丘成桐先生的辦公室,開始了我在哈佛的學習生活。他問我，想開始做研究，還是想繼續(xù)學更多的數(shù)學？我回答想開始做研究。丘先生卻對我說，“你要盡可能多地學習數(shù)學，因為畢業(yè)以后要想學什么新東西就不容易了�！彼�讓我學習代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、幾何分析等許多不相關的課程，有許多內(nèi)容直到今天我仍然無法完全理解。但這卻深刻地影響了我的學術生涯和人生軌跡。在當上教授以后，繁重的教學和科研壓力讓我體會到丘先生的話是多么的語重心長。

　　知識與技巧，到底哪一個更加重要呢？我的觀點是，對年輕人而言，知識更重要！知識讓我們站得更高，看到正確的方向，因為方向錯了，一切努力都不會有結(jié)果。但是也要承認，研究中關鍵的突破往往來自于技巧上的創(chuàng)新。做個比喻，一個武林高手，學了很多門派的武功，但是內(nèi)功不行，就容易走火入魔。大家知道丘先生在眾多數(shù)學領域都有開創(chuàng)性工作，得益于他極強的分析功底及廣博的知識面。現(xiàn)在國內(nèi)熱衷的中學生數(shù)學競賽，就太過于強調(diào)技巧，而忽略了更重要的知識。

　　其實我們的學生從中學開始就應該接受多方面知識的熏陶，讓孩子多看名人傳記，培養(yǎng)對科學的好奇心才是上上之策。我最近讀的牛頓傳記就寫得非常精彩。正是由于好奇心，牛頓大學二年級給自己提出了幾十個有關大自然的問題，為了解決它們，他發(fā)展了微積分作為基礎，進而發(fā)展了三大物理定律。愛因斯坦說過，“想象力比知識更重要”。可是沒有深厚的知識底蘊，想象力也只能是空中樓閣。想象力就是將各種知識融會貫通而激發(fā)出的火花。所謂“天才”，就是腦袋里時刻放著七八個問題，在閱讀文獻，與同行交流的同時，不斷用新學到的技巧和方法來分析這些問題，(點擊此處閱讀下一頁)

　　看能否找到突破，只要用心堅持，不斷積累，總能解決掉其中兩三個問題，那么別人就會覺得你是天才了。

　　如果你還是無法確信什么是好的數(shù)學，那么就去讀大數(shù)學家的著作和文章，跟著大師走總是沒錯的，因為他們之所以成為大師，就是因為他們選擇了正確的研究方向。在讀書過程中要注意培養(yǎng)自己對數(shù)學的鑒賞能力，發(fā)展屬于自己的技巧。后來在我研究中成為重要工具的局部化思想就是在國內(nèi)學習與做碩士論文期間掌握的，當時是受威滕、鮑特等大師的文章啟發(fā)。后來我用局部化思想來理解我所學到的一切數(shù)學知識，就像用一根線串起了許多珠子，有融會貫通的感覺。而我研究生涯的第一步正是得益于廣泛的知識積累，把數(shù)論的知識用到了拓撲之中。在研究的過程中，我也更加深了對所學知識的理解。哈佛幾年的學習，我覺得最重要的收獲是開闊了眼界，提高了對“好的數(shù)學”的感覺和把握能力�！把芯俊钡挠⑽膯卧~“research”，就是反復尋找，很好地體現(xiàn)了研究的本質(zhì)。研究一個問題，要首先知道什么是已知的，什么是未知的，確定什么是需要自己努力創(chuàng)新的。丘成桐與楊振寧先生都有常在圖書館翻閱雜志的好習慣，不求懂，只為見多識廣。丘先生更以“好讀書，而不求甚解”作為廣泛獵取知識的好方法。與其他學科一樣，數(shù)學的每一點進步都是建立在前人工作基礎之上的�？芍^“開卷有益”！

　　杭州是個圓夢的地方

　　2003年6月我來到杭州，成為浙江大學數(shù)學研究中心常務主任與數(shù)學系主任。上任時，丘先生對我和浙大領導說，我們辦數(shù)學中心就要辦世界第一流的，否則我們寧可不辦。為此我工作的第一步就是要努力與世界的數(shù)學發(fā)展接軌，然而我的管理與研究理念卻經(jīng)常與國內(nèi)的一些傳統(tǒng)觀念有沖突，常常要為此付出成倍的努力。另外，由于社會上對于數(shù)學和數(shù)學家的各種成見，也很難招收到優(yōu)秀的學生。當時的數(shù)學中心只是一幢空空的大樓，舉辦學術活動也經(jīng)常為沒有學生來聽而發(fā)愁。我們從一點一滴做起，五年來通過大量世界一流的學術活動，吸引了包括霍金、威滕、格羅斯等大批國際一流數(shù)學和物理學家來訪。更有哈佛的教授斯圖明格帶領其學術團隊來中心訪問半年，開拓了國內(nèi)數(shù)學界，特別是浙大師生們的國際視野。與哈佛學生的朝夕相處也增強了數(shù)學中心學生們的自信心。

　　經(jīng)過五年的努力，浙大數(shù)學中心已經(jīng)成為舉世聞名的數(shù)學研究機構(gòu)，數(shù)學系也成為國內(nèi)最強的數(shù)學系之一�，F(xiàn)在的數(shù)學中心已是由上百位教授、博士后、研究生與大學生組成的著名國際數(shù)學中心。這幾年我們引進培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的青年數(shù)學家，包括國外名校，如麻省理工學院的畢業(yè)生，有的已經(jīng)取得了世界一流的成果。許多世界名校的數(shù)學系，如哈佛、哥倫比亞、伯克萊、UCLA也更加關注并錄取我們數(shù)學系和數(shù)學中心的學生。今年哥倫比亞就一下子錄取了七位浙大數(shù)學學科的學生，這對浙大，對哥倫比亞都是史無前例的。五年來，我努力在數(shù)學中心為學生們營造我當年在哈佛的學習與研究氛圍，這種努力已經(jīng)開花結(jié)果。數(shù)學中心已經(jīng)形成了良好的學術氛圍，正逐漸成為中國數(shù)學的黃埔軍校。杭州五年是我值得自豪的五年。幾年的學習生活，我與杭州，與數(shù)學中心學生們的感情也越來越深。

　　C alabi-丘空間

　　杭州是個激發(fā)靈感的城市，既有美麗的西湖，也有深厚的文化底蘊。這幾年，杭州給了我許多寶貴的人生歷練。在我自己的研究工作上，五年來我與朋友學生們合作解決了幾個著名的猜想。除了馬里諾—瓦法猜想、丘成桐幾何度量猜想，最近我與我的學生與朋友彭攀完成了瓦法等四位著名超弦學家提出的一個著名猜想的證明。此猜想給出了扭結(jié)不變量全新的代數(shù)結(jié)構(gòu)與無窮多新的整數(shù)不變量。這是弦對偶理論中重要的猜想之一，把陳省身先生的陳—西蒙斯理論與丘成桐先生的卡拉比—丘流形的拓撲弦理論兩個不同的理論完全等同起來。

　　今年我在杭州破格錄取的博士生徐浩，與我一起發(fā)現(xiàn)并證明了模空間中著名的法波猜想。美國著名的克雷數(shù)學研究所與加拿大班福數(shù)學研究所曾經(jīng)專門為此猜想舉辦了一周的研討班，全世界40余名著名專家到會，足見此猜想的重要性。而就在這個國際研討會舉辦前兩天，與會專家們了解到中國浙江大學數(shù)學中心新近解決了這個世界著名猜想，這引起了國際數(shù)學界的震驚。徐浩的求學和研究經(jīng)歷也讓我對中國數(shù)學的未來更加有信心。

　　學生們的成功是我這幾年來最引以為傲的成績，他們也極大地促進了我的學習與研究。我自己和我的學生們這幾年在杭州的研究與生活經(jīng)歷也說明，國內(nèi)的數(shù)學已經(jīng)具備了走向世界一流的條件。這些優(yōu)秀的學生讓我自信浙大數(shù)學在未來的幾年內(nèi)會更加輝煌。我堅信不久的將來，中國將成為數(shù)學強國。我們也正在為這個夢想的實現(xiàn)而不懈地努力。

　　做數(shù)學家是很快樂的，做著自己喜愛的事情而且衣食無憂。數(shù)學家對整個社會和人們的日常生活都有很大的貢獻。從計算機、互聯(lián)網(wǎng)，到生命科學、金融業(yè)，處處可見數(shù)學的蹤影。盡管目前在美國找工作不容易，華爾街還招大量的數(shù)學系畢業(yè)生，培訓三個月就能勝任。諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者中也有好幾位是數(shù)學家。在生物學界也有數(shù)學出身的諾貝爾獎獲得者。好的數(shù)學基礎可以為未來的事業(yè)發(fā)展提供更加廣闊的空間。

　　對我而言，我想象不出一個更好的職業(yè)。我們可以在任何時候，任何地方與自己的朋友談論我們喜歡的數(shù)學問題。數(shù)學就像是我們不離不棄的老朋友，一個人對數(shù)學的熱愛與真誠總會得到回報，那就是美好與永恒的定理，還有穩(wěn)定而快樂的生活。愛因斯坦說，政治是暫時的，公式是永遠的。我想，上帝應該是個數(shù)學家，因為大自然規(guī)律的最終和最完美的表達一定是數(shù)學方程式。證明一個漂亮的數(shù)學定理和公式往往令我們感到非常的愉悅和滿足。不少朋友都說我已經(jīng)功成名就，可以悠閑地采菊東籬下了�？晌覅s覺得我的研究生涯才剛剛起步，有更好的定理在等著我呢。我現(xiàn)在最大的愿望就是多證明幾個美妙的數(shù)學定理，多帶出幾個能做出世界一流成果的學生。作為老師，最開心的就是看到自己的學生們成長為一流的數(shù)學家。我現(xiàn)在盡我所能地幫助我的學生們實現(xiàn)他們?nèi)松�的夢想，就像當年丘成桐先生、王啟明先生幫助我一樣�?

　　二十幾年來，數(shù)學幫助我實現(xiàn)了我所有的夢想，它已經(jīng)成了我生命的一部分，是數(shù)學的魅力在牽著我走。幾十年與數(shù)學朝夕相伴，我對數(shù)學有了更深的體會。我覺得從某種意義上講，數(shù)學就是人生的一種感覺，這種感覺只有在寬闊的知識海洋里徜徉才能欣賞得到，這種難以言狀的美妙感覺真是好啊！

　　現(xiàn)場問答

　　學生：您是怎么把數(shù)學和生活聯(lián)系起來的？

　　劉克峰：光明日報的葉輝老師寫過一篇關于我的文章，標題是“另類數(shù)學家”，那里邊提到關于我的很多故事，包括我的戀愛與我學數(shù)學的關系。

　　學生：您認為數(shù)學和哲學是一個什么樣的關系？

　　劉克峰：我同意這樣的比喻，數(shù)學家是藝術家，我們是在發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。而哲學家則相當于藝術評論家。

　　學生：您怎樣知道研究的方向是正確的？怎樣可以少走彎路？

　　劉克峰：見多識廣，要對各種數(shù)學知識都盡量了解，就會培養(yǎng)出好的數(shù)學品味。年輕的時候不懂，最好選擇大師們關于這個方向的文章來念一念。多跟朋友交流，尤其是多跟研究領域走在前沿的老師朋友交流，多參加學術會議。你的知識面廣了，眼界寬了，自然就知道什么樣的數(shù)學好、什么樣的數(shù)學壞了。

　　學生：劉教授，您好！我想問個問題，就是您前面說過一個人接受挫折的韌性往往是成功的關鍵，那從您求學到成為一個世界著名數(shù)學家的過程中，您肯定也碰到了一些挫折和困難，我想問一下，在您碰到挫折的時候，您具體是怎樣去做的？就是您解決挫折的方法或者說是通過一個怎樣的橋梁使自己度過難關的？謝謝。

　　劉克峰：我�？磭鴥�(nèi)的電視劇，我發(fā)現(xiàn)一個經(jīng)常用的場面就是男主人公或女主人公一遇到挫折就在那里喝酒，而且一定要喝醉。我從來不會這個樣子，我也喜歡在休閑的時候喝一點酒，但遇到挫折的時候，我反而不喝酒。我遇到不少大大小小的挫折。但是我覺得每次挫折，現(xiàn)在回想起來都對我的成長很有好處。我第一次小的挫折是在上初中的時候，數(shù)學競賽沒有得獎，現(xiàn)在想想沒有什么了不起的。但那個時候自己很自負，覺得自己數(shù)學很好卻沒有拿獎，打擊最大的是當時我喜歡的女孩子，就是我現(xiàn)在的太太就在我同班里面，在她面前很丟臉，真覺得天昏地暗了。但是這次失敗使我更加用功。我后來在讀研究生的時候也是，我做的一些結(jié)果，包括我的博士論文，都曾經(jīng)覺得做不出來，但往往最后一口氣我挺住就做出來了。我覺得我們遇到失敗，就要越挫越勇，屢敗屢戰(zhàn)才是好漢。

　　我還想舉一個例子，這也是我的一個朋友告訴我的。他以前是下鄉(xiāng)知青，當時下鄉(xiāng)條件非常的艱苦。他下鄉(xiāng)時曾經(jīng)在山上修梯田。后來他在美國做了教授。他回國時買到了一幅畫，這幅畫里是高高的梯田。他把這幅畫買回來掛在家里。他說，我每次遇到挫折的時候，就看看這幅畫，我再苦再累再失敗，也不會比那個時候更差。其實許多挫折過幾年后來看，根本沒什么了不起的。你看，你們再失敗也是個大學生。像我的話再困難，再挫折，還是個教授。所以想到這一點，你就會看得開，覺得失敗無所謂了。你只要想到挫折沒什么了不起的，看淡一點，總是可以東山再起�？墒悄闳绻�放棄了就什么都沒了，我想不氣餒才是最關鍵的。

　　徐憲民（嘉興學院院長、博導）：劉教授，您是怎么理解好的數(shù)學？

　　劉克峰：好的數(shù)學應該牽扯的知識面廣，涉及的領域多，尤其能涉及到數(shù)學的主流領域。所謂主流領域就是有很深厚的知識基礎，比如說像微分幾何、經(jīng)過很多大師們的發(fā)展，又與其他數(shù)學領域以及物理不斷交融，常常有許多新的想法和革命性的發(fā)展。通常一個好的數(shù)學問題會有許多推論，而不單單是一個孤立的問題，解決它之后會啟發(fā)許多其他的重要問題。例如，陳省身先生當年重新證明高斯—博內(nèi)特公式，這個公式證明之后，就把拓撲與微分幾何巧妙地結(jié)合起來，發(fā)展出新的方向。丘成桐先生證明的卡拉比猜想，在代數(shù)幾何與理論物理中有重要作用。我理解好的數(shù)學就是這樣的。

　�。ū疚母鶕�(jù)劉克峰于2008年6月20日在嘉興學院省身講堂的演講整理。）來源：光明日報

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